Memahami Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

Memahami kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi memang membutuhkan proses yang agak panjang selain tentunya dengan sering latihan. Tidak cukup sekali baca dan langsung bisa. Hanya orang tertentu saja bisa demikian. Sementara orang yang ber IQ pas-pasan seperti admin kelasmat.com ini, harus butuh belajar dan latihan yang ekstra untuk dapat memahami konsep ini.

Baiklah tanpa basa basi lagi mari kita sama-sama mulai belajar konsep ini dengan Kaidah Pencacahan terlebih dahulu.

Kaidah Pencacahan

Masalah yang biasa dibicarakan dalam kombinatorika salah satunya tentang aturan pencacahan. Nah, Pada aturan pencacahan ini terdapat dua prinsip utama, yaitu aturan perkalian dan aturan penambahan.

Aturan Perkalian

Kita pahami dulu aturan perkalian ya.. Nah, Untuk aturan perkalian ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam 𝑚 cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam 𝑛 cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam (𝑚x𝑛) cara. {alertInfo}

Sebagai contoh : Berapakah banyaknya kejadian yang mungkin muncul jika 2 dadu dilempar satu kali?

Untuk menjawabnya, kita lihat bahwa Dadu pertama akan muncul 6 kemungkinan kejadian (karena dadu memiliki 6 sisi), dadu kedua juga akan muncul 6 kemungkinan kejadian juga. Maka Kejadian secara bersamaan akan muncul sebanyak 6 x 6 = 36 kemungkinan kejadian.

Contoh lain : Pada suatu kelas yang terdiri dari 20 peserta didik, akan dibentuk kepengurusan kelas yaitu ketua dan sekretaris kelas. Ada berapa cara kepengurusan kelas tersebut dapat dibentuk?

Untuk menjawabnya kita lihat bahwa Untuk ketua kelas tentunya ada 20 cara, sedangkan untuk sekretaris ada 19 cara (karena 1 orangnya sudah menjadi ketua sehingga tersisa 19 lagi). Sehingga secara berpasangan ada 20 x 19 = 380 cara.

Baca Juga : Soal Ulangan Harian Pola Bilangan Kelas 8{alertWarning}

Aturan Penambahan

Sedangkan untuk aturan penambahan, mari kita perhatikan pernyataan berikut:

Jika dalam kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama atau kedua dapat terjadi dalam (m + n) cara {alertInfo}

Sebagai contoh : Di dalam sebuah kotak berisi 5 pulpen dan 3 pinsil. Berapakah banyaknya cara untuk mengambil 1 pulpen atau 1 pinsil?

Untuk menjawabnya mudah saja sesuai dengan aturan penambahan di atas, maka Kejadian memilih 1 pulpen ada 5 cara, sedangkan Kejadian memilih 1 pinsil ada 3 cara, sehingga Banyaknya memilih 1 pulpen atau 1 Pinsil adalah 5 + 3 = 8 Cara.

Konsep Permutasi

Setalah kita memahami kedua aturan pencacahan di atas, yaitu aturan perkalian dan aturan penambahan, maka selanjutnya kita mulai pahami juga aturan permutasi. Yang perlu diperhatikan Pada aturan pencacahan Permutasi adalah bahwa urutan kejadian sangat diperhatikan. Ini yang akan membedakan dengan aturan kombinasi nanti. Agar mudah memahaminya, mati kita Perhatikan pernyataan berikut ini:

Jika diberikan 𝑛 obyek berbeda, sebuah permutasi 𝑘 dari 𝑛 obyek berbeda adalah sebuah jajaran dari 𝑘 obyek yang urutannya diperhatikan {alertInfo}

Bingung nggak kira-kira dengan kalimat pernyataan di atas, kalau bingung berarti kita sama. wkwkwk

Kira-kira begini kita memahaminya. Kita misalkan saja ada 4 huruf yaitu a, b, c dan d. Nah kalau kita susun ulang huruf-huruf itu sehingga menjadi seperti ini:

abcd, dbca, cadb, dbac dan sebagainya ini adalah contoh permutasi-permutasi 4 huruf dari 4 huruf yang diketahui
abc, abd, acb, bca, dcb dan sebagainya ini adalah permutasi-permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang diketahui
cb, bd, ad, cd, ba, dc dan sebagainya ini adalah permutasi-permutasi 2 huruf dari 4 huruf yang diketahui
dan seterusnya
jadi, singkatnya bahwa Banyaknya Permutasi 𝑟-obyek dari 𝑛-Obyek yang berbeda diberi notasi 𝑃(𝑛,𝑟) dimana
\[P_r^n = P(n,r) = n(n - )(n - 2)...(n - r + 1) = \frac{{n!}}{{(n - r)!}}\]

Aturan Kombinasi

Seperti yang sudah saya singgung di atas, bahwa Bedanya kombinasi dengan permutasi adalah Pada aturan urutannya. Pada permutasi urutan kejadian sangat di perhatikan, sedangkan pada kombinasi urutan kejadian tidaklah diperhatikan. Untuk lebih mudah memahaminya, mari kita perhatikan pernyataan berikut ini:

Diberikan 𝑛-obyek yang berbeda. Sebuah kombinasi 𝑘 dari 𝑛-obyek berbeda adalah jajaran dari 𝑘-obyek yang urutannya tidak diperhatikan {alertInfo}

Kalau kamu makin bingung, maka saya juga lebih bingung.. Tapi itu bagus.. kamu bingung tandanya kamu masih bisa berfikir.

Gini deh, misalkan dari 4 bersaudara yaitu Asep (A), Beni (B), Caca (C) dan Deni (D) akan diundang 2 orang untuk mewakili rapat keluarga besar. Ada berapa cara kah untuk memenuhi undangan tersebut?

Lalu Bagaimana jika yang diundang 3 orang dari 4 bersaudara itu?

Nah, Jika yang diundang hanya 2 orang saja untuk mewakili rapat keluarga besar itu, maka 2 orang yang mungkin hadir itu adalah bisa (Asep,Beni), bisa (Asep,Caca), bisa (Asep,Deni), bisa (Beni,Caca), bisa (Beni,Deni), bisa juga (Caca,Deni). Jadi Jika sudah ada (Asep,Beni) yang hadir diundangan maka tidak boleh dimasukkan lagi (Beni,Asep) karena (Asep,Beni) = (Beni,Asep) alias orangnya itu juga meskipun urutannya berbeda. Nah ini lah yang disebut urutannya tidak perlu diperhatikan. Mau Asep dulu baru Beni atau pun Beni dulu baru Asep saja.

Lalu bagaimana jika yang diundang 3 orang untuk mewakili rapat keluarga besar? maka ketiga orang yang mungkin hadir di acara itu adalah (A,B,C), (A,B,D), (A,C,D) dan (B,C,D) dimana (A,B,C)=(A,C,B)=(B,C,A)=(B,A,C)=(C,A,B)=(C,B,A).

Sehingga dengan demikian jika bilangan yang akan kita hitung lumayan besar, maka kita perlu rumus untuk memudahkannya. Di bawah ini adalah rumus untuk mencari banyak nya cara dalam aturan kombinasi.

\[C_k^n = C(n,k) = \left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right) = \frac{{P(n,k)}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]
Mungkin hanya itu saja yang bisa saya sampaikan mengenai Memahami Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi pada kesempatan ini. Jika ada yang perlu di koreksi atau yang ditanyakan silahkan sampaikan pada ruang komentar di bawah ini.